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商品名称：全国卷高考数学满分教程：数列和不等式

商品编号：578059234585

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ISBN编号：9787302504870

书名：全国卷高考数学满分教程：数列和不等式,全国卷高考数学满分教程：数列和不等式

作者：张瑞炳,高慧明,周韡,主编,江泽,陈景文,王

出版社名称：清华大学出版社

定价：59.80元

开本：16开

是否是套装：否

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方法独特，讲解精辟；举一反三，学练结合；一线教学名师多年经验总结；告别题海战术，满分轻松得基本信息商品名称：全国卷高考数学满分教程：数列和不等式开本： 16开作者：张瑞炳高慧明周韡主编江泽陈景文王圣张刚副主编定价： 59.80 ISBN号： 9787302504870 出版时间： 2018-07-25 出版社：清华大学出版社印刷时间： 2018-07-13 版次： 1 印次： 1 目录第1章等差数列、等比数列与数列求和 1.1等差数列 1.1.1等差数列的基础知识 1.1.2等差数列的性质 1.1.3范例解析 1.2等比数列 1. ...

基本信息

商品名称：	全国卷高考数学满分教程：数列和不等式	开本：	16开
作者：	张瑞炳高慧明周韡主编江泽陈景文王圣张刚副主编	定价：	59.80
ISBN号：	9787302504870	出版时间：	2018-07-25
出版社：	清华大学出版社	印刷时间：	2018-07-13
版次：	1	印次：	1

目录第1章等差数列、等比数列与数列求和 1.1等差数列 1.1.1等差数列的基础知识 1.1.2等差数列的性质 1.1.3范例解析 1.2等比数列 1.2.1等比数列的基础知识 1.2.2等比数列的性质 1.2.3范例解析 1.3数列求和 1.3.1数列求和的基础知识 1.3.2数列求和的常用方法 1.3.3范例解析第2章递推数列与高阶等差数列 2.1数列的通项 2.1.1通项公式的定义 2.1.2研究递推数列的通项公式的常用方法 2.1.3范例解析 2.2递推方法 2.2.1递推方法的定义 2.2.2运用递推方法的几种形式 2.2.3范例解析 2.3数列的差分与高阶等差数列 2.3.1数列的差分及其性质 2.3.2高阶等差数列及其性质 2.3.3范例解析第3章数列的性质与数列模型 3.1数列的单调性 3.1.1数列单调性的定义 3.1.2数列单调性的证明方法 3.1.3范例解析 3.2数列的周期性 3.2.1周期数列的概念 3.2.2关于周期数列的重要性质与结论 3.2.3范例解析 3.3数列模型及其应用 3.3.1数列模型与数学建模 3.3.2数列模型典型实例第4章不等式基础知识 4.1证明不等式的基本方法（一） 4.1.1比较法 4.1.2综合法与分析法 4.1.3范例解析 4.2证明不等式的基本方法（二） 4.2.1反证法 4.2.2放缩法 4.2.3范例解析 4.3不等式的解法 4.3.1解不等式的基本思路 4.3.2不等式的性质 4.3.3范例解析第5章重要不等式 5.1平均值不等式 5.1.1知识要点 5.1.2范例解析 5.2柯西不等式 5.2.1知识要点 5.2.2范例解析 5.3排序不等式与琴生不等式 5.3.1知识要点 5.3.2范例解析第6章数列与不等式的综合问题 6.1数列不等式的证明 6.1.1内容概要 6.1.2范例解析 6.2点列问题 6.2.1知识要点 6.2.2范例解析 6.3分组数列及其应用 6.3.1知识要点 6.3.2范例解析0.
所以f(x)在1，32上单调递增；在32，∞上单调递减.故当x=32时，ymax=12595.【变式1】设x，y，z是不全为零的实数.证明： xy 2yzx2 y2 z2≤52.

【变式2】设x，y，z，w是不全为零的实数.证明： xy 2yz zwx2 y2 z2 w2≤2 12.

【变式3】设x>0，y>0，z>0，且x y z=1，求函数f(x，y，z)=xy2z3的*值.

【变式4】已知正数a，b，c，满足： a2 ab ac bc=6 25，求3a b 2c的*小值.

5.2柯西不等式5.2.1知识要点
柯西不等式如下.设ai，bi∈R(i=1，2，…，n)，则

∑ni=1aibi2≤∑ni=1a2i∑ni=1b2i，

当数组a1，a2，…，an； b1，b2，…，bn不全为零时，等号当且仅当bi=λai(λ为常数，i=1，2，…，n)时成立.证明：若a21 a22 … a2n=0，则a1=a2=…=an=0，此时不等式显然成立.当∑ni=1a2i≠0时，构造二次函数

f(x)=∑ni=1a2ix2-2∑ni=1aibix ∑ni=1b2i，

易知
f(x)=∑ni=1(aix-bi)2≥0，
所以此二次函数的判别式Δ≤0，即
4∑ni=1aibi2-4∑ni=1a2i∑ni=1b2i≤0，即
∑ni=1aibi2≤∑ni=1a2i∑ni=1b2i.等号在aix-bi=0，即bi=λai(i=1，2，…，n)时成立.
5.2.2范例解析【例4】已知实数a，b，c，d满足a b c d=3，a2 2b2 3c2 6d2=5，求a的*值和*小值.解：由柯西不等式，有

(2b2 3c2 6d2)·12 13 16≥(b c d)2，

又因为
2b2 3c2 6d2=5-a2，b c d=3-a，
所以
5-a2≥(3-a)2，
即
a2-3a 2≤0，
所以
1≤a≤2，
当且仅当
2b12=3c13=5d15，
即2b=3c=6d时等号成立.因此当b=1，c=23，d=13时，a有*小值1；当b=12，c=13，d=16时，a有*值2.
评注：解决本题的关键，是通过柯西不等式构造关于a的不等式.

【变式1】设a，b，c为正数，且a b c=1，求a 1a2 b 1b2 c 1c2的*小值.

【变式2】求函数y=4x-2 9-3x的*值.

【变式3】已知a，b，c，d，e是实数，满足a b c d e=8，a2 b2 c2 d2 e2=16，试确定e的*值.

【例5】解方程组x2 y2 z2=94，-8x 6y-24z=39.解：由柯西不等式，得

(x2 y2 z2)［(-8)2 62 (-24)2］≥(-8x 6y-24z)2，

即
94×262≥392，
又
94×262=392，
由柯西不等式等号成立条件知：

x-8=y6=z-24，

又因为
-8x 6y-24z=39，
所以
x=-613，y=926，z=-1813.
评注：一般地，只有两个方程构成的三元二次方程组的解不是*的，但本题的解是*的，原因就是它恰好满足柯西不等式等号成立的条件.

【变式1】解不等式x-x2 4x-x2≥2.

【变式2】解方程组2x 3y z=13，
4x2 9y2 z2-2x 15y 3z=82.

【变式3】设a，b，c，x，y，z为实数，且a2 b2 c2=25，x2 y2 z2=36，ax by cz=30，求a b cx y z的值.

【变式4】已知a，b为正数，n为正整数，且sin4θa cos4θb=1a b，证明： sin2nθan-1 cos2nθbn-1=1(a b)n-1.

【例6】设a≥0，b≥0，c≥0，且a b c≤3，求证：

a1 a2 b1 b2 c1 c2≤32≤11 a 11 b 11 c.

证明：因柯西不等式可变形为

∑nk=1b2kak≥∑nk=1bk2∑nk=1ak，ak>0，k=1，2，…，n.

令bk=1，得
∑nk=11ak≥n2∑nk=1ak.
所以
11 a 11 b 11 c≥32(1 a) (1 b) (1 c)≥323 3=32，
又因为
1 a2≥2a，
所以
a1 a2≤12，
同理
b1 b2≤12，c1 c2≤12.
从而有
a1 a2 b1 b2 c1 c2≤12 12 12=32，
其中等号成立的条件是
a=b=c=1.

评注：柯西不等式的常见形式如下： (1) 对任意两组实数ai、bi(i=1，2，…，n)，有∑ni=1aibi≤∑ni=1a2i·∑ni=1b2i，当且仅当ai=kbi(k为常数，i=1，2，…，n)时等号成立，这又可以表示为向量形式|α·β|≤|α|·|β|，其中，当且仅当α、β线性相关时等号成立.(2) 对任意两组正实数ai、bi(i=1，2，…，n)，有∑ni=1aibi2=∑ni=1ai·aibi2≤∑ni=1ai∑ni=1aib2i，当且仅当bi为常数时，上式等号成立.变形为∑ni=1aib2i≥∑ni=1aibi2∑ni=1ai，用来处理分式不等式常常很方便.(3) 对任意两组正实数ai，bi(i=1，2，…，n)，有∑ni=1ai2=∑ni=1aibi·aibi2≤∑ni=1aibi∑ni=1aibi，当且仅当bi为常数时，上式等号成立.变形为∑ni=1aibi≥∑ni=1ai2∑ni=1aibi，用来处理分式不等式常常很方便.

(4) 对任意两组正实数ai、bi(i=1，2，…，n)，有∑ni=1ai2=∑ni=1bi·aibi2≤∑ni=1bi∑ni=1a2ibi,当且仅当bi为常数时，上式等号成立.变形为∑ni=1a2ibi≥∑ni=1ai2∑ni=1bi，用来处理分式不等式常常很方便.(5) 对任意两组实数a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn，有∑ni=1aibi2≤∑ni=1λ2a2i∑ni=1b2iλ2(λ≠0)，当且仅当ai=kbi(k为常数，i=1，2，…，n)时，上式等号成立.

【变式1】P为△ABC内一点，它到三边BC，CA，AB的距离分别为d1，d2，d3，S为△ABC的面积.求证： ad1 bd2 cd3≥(a b c)22S.这里a，b，c分别表示三边BC，CA，AB的长.

【变式2】利用柯西不等式证明：点P(x0，y0)到直线Ax By C=0的距离d=|Ax0 By0 C|A2 B2.

【变式3】设定义在R上的函数f(x)=lg1x 2x … (n-1)x axnn，若0≤a≤1，n∈N*，n≥2，求证： f(2x)≥2f(x).

【变式4】证明： 1-12 13-14 … 12n-1-12n>2n3n 1.

【变式5】a1，a2，…，an是n个不同的正整数，求证： 1 12 … 1n≤a1 a222 … ann2.

5.3排序不等式与琴生不等式5.3.1知识要点1. 排序不等式

设有两组数据a1，a2，…，an； b1，b2，…，bn满足： a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn.则有：

a1bn a2bn-1 … anb1(反序和)
≤a1bt1 a2bt2 … anbtn (乱序和)
≤a1b1 a2b2 … anbn(同序和)，

其中{t1，t2，…，tn}={1，2，…，n}，当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时等号成立.证明： (1) 因为(an-ak)(bn-btn)≥0(tn
anbn akbtn≥akbn anbtn.

若btk=bn(tk
a1bt1 a2bt2 … akbtk … anbtn
≤a1bt1 a2bt2 … akbtk … anbtn.

若btr=bn-1(tr
a1bt1 a2bt2 … arbtr … an-1btn-1 anbn
≤a1bt1 a2bt2 … arbtn-1 … an-1bn-1 anbn.

继续下去，即得上述右端不等式.(2) 因b1≤b2≤…≤bn，故有：

-b1≥-b2≥…≥-bn.

由(1)知：

(-bn)a1 (-bn-1)a2 … (-b1)an≥(-bt1)a1 (-bt2)a2 … (-btn)an，

两端同时除以-1，即得上述左端不等式.排序不等式有广泛的应用，它的使用在于能根据需要，合理地构造两组适当的数： a1，a2，…，an； b1，b2，…，bn.
2. 琴生不等式(1) 先介绍琴生在1905年给的一个定义.设连续函数f(x)的定义域为(a，b)，如果对于(a，b)内任意两数x1，x2都有

fx1 x22≤f(x1) f(x2)2①

则称f(x)为(a，b)上的凸函数.若把①式的不等号反向，则称这样的f(x)为区间(a，b)上的凹函数.凸函数的几何意义是：过y=f(x)曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上.(2) 琴生不等式.若f(x)是区间(a，b)上的凸函数，则对任意的点x1，x2，…，xn∈(a，b)有

fx1 x2 … xnn≤1n［f(x1) f(x2) … f(xn)］，

当且仅当x1=x2=…=xn时取得等号.证明：当n=1时，命题显然成立.假设n=k时成立，当n=k 1时，令
A=1k 1(x1 x2 … xk xk 1)，
则
A=(k 1)A (k-1)A2k
=x1 x2 … xk xk 1 (k-1)A2k.

又令
B=(x1 x2 … xk)/k，C=［xk 1 (k-1)A］/k，
于是

f(A)=fB C2≤12［f(B) f(C)］
=12fx1 x2 … xkk fxk 1 (k-1)Ak
≤121k［f(x1) f(x2) … f(xk)］ 1k［f(xk 1) f(A) … f(A)(k-1)个］.

所以

f(A)≤1k 1［f(x1) f(x2) … f(xk) f(xk 1)］，

当且仅当x1=x2=…=xk=xk 1时取等号.综上所述，对一切正整数n命题成立.类似地可以证明，若f(x)是凹函数，则

fx1 x2 … xnn≥1n［f(x1) f(x2) … f(xn)］.

琴生不等式中等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.
5.3.2范例解析【例7】证明： (1) 若a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，则

a1b1 a2b2 … anbn≥1n(a1 a2 … an)(b1 b2 … bn)；

(2) 若a1≤a2≤…≤an，b1≥b2≥…≥bn，则

a1b1 a2b2 … anbn≤1n(a1 a2 … an)(b1 b2 … bn).

证明： (1) 不等式左边为同序和，记为S，则

S=a1b1 a2b2 … anbn，
S≥a1b2 a2b3 … anb1，
S≥a1b3 a2b4 … anb2，

S≥a1bn a2bn-1 … anb1.

将上面全部式子相加，并按列求和，得

nS≥a1(b1 b2 … bn) a2(b1 b2 … bn) … an(b1 b2 … bn)
=(a1 a2 … an)(b1 b2 … bn)，

所以
S≥1n(a1 a2 … an)(b1 b2 … bn)，
即
a1b1 a2b2 … anbn≥1n(a1 a2 … an)(b1 b2 … bn).(2) 设

M=a1b1 a2b2 … anbn，

因为b1≥b2≥…≥bn，所以有-b1≤-b2≤…≤-bn.由(1)结论可得

-M=a1(-b1) a2(-b2) … an(-bn)
≥1n(a1 a2 … an)［(-b1) (-b2) … (-bn)］.

所以
M≤1n(a1 a2 … an)(b1 b2 … bn)，
即
a1b1 a2b2 … anbn≤1n(a1 a2 … an)(b1 b2 … bn).
评注：上述不等式为契比雪夫不等式.

【变式1】设a，b，c为正数，求ca b ab c bc a的*小值.

【变式2】用排序法原理证明平均不等式：设a1，a2，…，an∈R ，求证： a1 a2 … ann≥na1a2…an(n∈N*，n≥2).
【例8】设a，b，c为正实数，证明：

a2b c b2c a c2a b≥12(a b c).①

证法一：由对称性，不妨设a≤b≤c，则a2≤b2≤c2，1b c≤1c a≤1a b，可知①式左边为同序和，记为S，由排序不等式得

S≥b2b c c2c a a2a b，②
S≥c2b c a2c a b2a b，③

②③式相加得

2S≥b2 c2b c c2 a2c a a2 b2a b.

为得到①式右边的结果，注意到

2(b2 c2)≥(b c)2，

即

b2 c2b c≥12(b c).

同理

c2 a2c a≥12(c a)，
a2 b2a b≥12(a b).

于是

2S≥12(b c) 12(a c) 12(a b)=a b c.

所以S≥12(a b c)，从而命题得证.证法二：因为a>0，b>0，c>0.所以由柯西不等式可知

［(b c) (c a) (a b)］a2b c b2c a c2a b
≥(b c·ab c c a·ac a a b·aa b)
=(a b c)2.

所以
a2b c b2c a c2a b≥12(a b c).
评注：利用排列不等式解决本题的关键是构造出两个合适的有序数组.

【变式1】设a1，a2，a3为正数，求证： a1a2a3 a2a3a1 a3a1a2≥a1 a2 a3.
【变式2】有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i=1，2，…，10)个人的水桶需要ti分钟，假定这些ti各不相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间*少？这个*少的总时间等于多少？
【变式3】求证： 1n 11 13 15 … 12n-1>1n12 14 … 12n(n≥2，n∈N*).
【变式4】设x1，x2，…，xn∈R ，α>0，β>0，求证： xβ1xα2 xβ2xα3 … xβn-1xαn xβnxα1≥xβ-α1 xβ-α2 … xβ-αn.

【例9】设a1，a2，…，an为1，2，…，n(n≥2，n∈N*)的一个排列，求证： 12 23 … n-1n≤a1a2 a2a3 … an-1an.证明：设b1，b2，…，bn-1为a1，a2，…，an-1的一个排列，且b1
a1a2 a2a3 … an-1an≥b1c1 b2c2 … bn-1cn-1.①

由于b1≥1，b2≥2，…，bn≥n-1，c1≤2，c2≤3，…，cn-1≤n.
于是
b1c1 b2c2 … bn-1cn-1≥12 23 … n-1n，
即

12 23 … n-1n≤b1c1 b2c2 … bn-1cn-1.②

综上①②，得证.【变式1】已知a，b，c为正数，用排序不等式证明： 2(a3 b3 c3)≥a2(b c) b2(a c) c2(a b).

【变式2】设a，b，c为正实数，且abc=1，试证： 1a3(b c) 1b3(a c) 1c3(a b)≥32.

【变式3】设x1，x2，…，xn与a1，a2，…，an(n≥2)是满足条件： (1) x1 x2 … xn=0； (2) |x1| |x2| … |xn|=1； (3) a1≥a2≥…≥an.
的两组任意实数，为了使不等式|a1x1 a2x2 … anxn|≤A(a1-an)成立，求实数A的*小值.

【变式4】(1) 在△ABC中，求证： π3P≤aA bB cC<π2P(P=a b c，a、b、c分别为点A、B、C所对对边的长)； (2) 在△ABC中，求证： sinAha sinBhb sinChc≥3R(ha，hb，hc分别为BC边、AC边、AB边边长、R为△ABC的外接圆半径).

【例10】设A、B、C是三角形的3个内角，λ是非负实数，求tanB2tanC2 λ tanC2tanA2 λ tanA2tanB2 λ的*值.解：设f(x)=x λ，x∈(0， ∞)，则对任意的x1，x2∈(0， ∞)，利用算术平均≤平方平均，可得

f(x1) f(x2)2 =x1 λ x2 λ2
≤x1 λ x2 λ212
=x1 x22 λ
=f(x1 x22).

故f(x)=x λ在(0， ∞)是凹函数.利用琴生不等式，得

tanB2tanC2 λ tanC2tanA2 λ tanA2tanB2 λ
≤313tanB2tanC2 tanC2tanA2 tanA2tanB2 λ
=313 λ
=3(3λ 1).

其中，当且仅当∠A=∠B=∠C=π3时等号成立，故所求的*值为3(3λ 1).

评注：也可以通过求导的方法判断函数的凹凸性.因为f(x)=x λ，则f′(x)=12x λ，f″(x)=-14(x λ)-32，所以当x>0时，f″(x)<0，故f(x)在(0， ∞)是凹函数.定理：设f(x)为(a，b)上是可导函数，那么f(x)在(a，b)上是凸函数的充要条件是其导函数f′(x)在(a，b)上不减，特别的，当f(x)二阶可导时，f(x)在(a，b)上为凸函数的充要条件为其二阶导数f″(x)≥0在(a，b)上总成立.利用定理，就可以判断下列常见的凸函数： (1) f(x)=1x，x∈(0， ∞).(2) f(x)=xp，p≥1，x∈(0， ∞). (3) f(x)=ln1x，x∈(0， ∞).(4) f(x)=ex，x∈(0， ∞).(5) f(x)=ax (a>0且a≠1)，x∈(-∞， ∞).
【变式1】已知△ABC的三个内角为A，B，C，则sinA sinB sinC的*值为().

A. 223B. 23C. 332D. 32【变式2】已知k是正常数，a>0，b>0，且a b=1，则a 1ak b 1bk的*小值为.【变式3】半径为r的圆内接n边形，其面积的*值是.
【变式4】设x，y，z>0，且x y z=1，证明： yzx yz xzy xz xyz xy≤32.
【变式5】设x，y，z是正实数，且xyz=1.证明： x3(1 y)(1 z) y3(1 z)(1 x) z3(1 x)(1 y)≥34.

本书源于全国卷网高考研究中心和全国名校名师多年教辅经验的沉淀与解法的提炼，针对全国卷高考数学内容应试场景和满分战略进行了深入研究与科学的梳理，侧重体现知识点的系统性与逻辑性以及为达到满分的知识扩充和解题标准.全书按照全国卷数列与不等式考题方向分为六章，覆盖了全国卷高考等差数列、等比数列和数列求和、递推数列与高阶等差数列、数列的性质与数列模型、不等式基础知识、重要不等式、数列与不等式的综合问题.本书部分例题和变式题讲解等配套资源请到全国卷网下载.本书适合高中二、三年级的学生学习使用，也可作为高中数学老师的参考用书.

张瑞炳高级教师，毕业于华东师范大学，20余年一线教学经验，厦门双十中学数学教研组长，中国数学奥林匹克高级教练员，中国数学奥林匹克希望联盟总教练，福建省教育学会数学教学委员会理事，集美大学客座教授，厦门市专家型教师。曾被评为福建省优秀教师、厦门市杰出教师。曾获厦门市课堂教学改革创新大赛一等奖，福建省中学青年数学教师说课比赛一等奖。指导学生多人次获CMO*、银牌和铜牌。10多次参加福建省高三毕业班数学科质检命题，开设省、市级讲座与公开课20多场。编写5本高考数学《百题大过关》，目前是第9版。高慧明
首届全国十佳班主任，北京市高中数学特级教师，现任教于北京市第十二中学高中部。全国著名高考数学命题与考试研究专家，参与制定国家、省级课程系列教材及考试指导文件，在《教育研究》《中国教育学刊》《数学通报》《中学数学教学参考》等全国知名学术期刊发表论文500余篇，已出版《给学生一个心灵的支点——高慧明班级高效管理艺术》《让高中生学会学习》《高考数学命题规律与教学策略》《高中数学思想方法及应用》等图书。国家“国培计划”全国中小学校长、班主任、教师培训特邀主讲专家。讲课、讲座、报告专题涉及课堂教学、科学备考、班级管理、教师专业成长等方面，在全国引起强烈反响。
周韡，清华大学校友，北京大学光华管理学院MBA，中国数学会北京分会会员，中国教育学会会员，中国计算机学会会员，奥赛教练。曾受衡水中学、衡水二中、会宁二中等多所中学邀请讲学。现为全国卷网创始人，项目得到了清华大学经管学院XLAB和加速器四期培育。全国卷网由北大清华校友创办，是研究全国卷新高考的专业机构，并在网络上开辟了没有围墙的在线大学，也为900万考生提供高考与自招资讯和解决方案。