目录
第 3 版修订版序言
第 2 版增订版序言
第 1 版前言
第 1 章 基本概念 1
§1 数的概念 1
§2 数的连续性 3
§3 数的集合·上确界·下确界 4
§4 数列的极限 5
§5 区间套法 10
§6 收敛条件与柯西判别法 12
§7 聚点 15
§8 函数 17
§9 关于连续变量的极限 21
§10 连续函数 25
§11 连续函数的性质 28
§12 区域 · 边界 31
习题 35
第 2 章 微分 37
§13 微分与导函数 37
§14 微分法则 40
§15 复合函数的微分 42
§16 反函数的微分法则 45
§17 指数函数和对数函数 48
§18 导函数的性质 51
§19 高阶微分法则 55
§20 凸函数 56
§21 偏微分 58
§22 可微性与全微分 60
§23 微分的顺序 62
§24 高阶全微分 65
§25 泰勒公式 67
§26 极大极小 74
§27 切线和曲率 81
习题 93
第 3 章 积分 96
§28 古代求积方法 96
§29 微分发明之后的求积方法 98
§30 定积分 101
§31 定积分的性质 108
§32 积分函数， 原函数 112
§33 积分定义扩展 (广义积分) 116
§34 积分变量的变换 125
§35 乘积的积分 (分部积分或分式积分) 128
§36 勒让德球函数 135
§37 不定积分计算 139
§38 定积分的近似计算 143
§39 有界变差函数 148
§40 曲线的长度 151
§41 线积分 156
习题 160
第 4 章 无穷级数与一致收敛 163
§42 无穷级数 163
§43 *收敛和条件收敛 164
§44 *收敛的判别法 168
§45 条件收敛的判别法 173
§46 一致收敛 176
§47 无穷级数的微分和积分 179
§48 关于连续变量的一致收敛， 积分符号下的微分和积分 184
§49 二重数列 195
§50 二重级数 197
§51 无穷积 204
§52 幂级数 208
§53 指数函数和三角函数 217
§54 指数函数和三角函数的关系， 对数函数和反三角函数 222
习题 229
第 5 章 解析函数及初等函数 232
§55 解析函数 232
§56 积分 236
§57 柯西积分定理 241
§58 柯西积分公式， 解析函数的泰勒展开 247
§59 解析函数的孤立奇点 251
§60 z = ∞ 处的解析函数 256
§61 整函数 257
§62 定积分计算 (实变量) 258
§63 解析延拓 264
§64 指数函数和三角函数 268
§65 对数 ln z 和一般幂 zα 277
§66 有理函数的积分理论 282
§67 二次平方根的不定积分 287
§68 Γ 函数 290
§69 斯特林公式 301
习题 307
第 6 章 傅里叶展开 314
§70 傅里叶级数 314
§71 正交函数系 315
§72 任意函数系的正交化 316
§73 正交函数列表示的傅里叶展开 318
§74 傅里叶级数累加平均求和法 (费耶定理) 322
§75 光滑周期函数的傅里叶展开 325
§76 非连续函数的情况 326
§77 傅里叶级数的例子 329
§78 魏尔斯特拉斯定理 333
§79 积分第2中值定理 336
§80 关于傅里叶级数的狄利克雷–若尔当条件 338
§81 傅里叶积分公式 341
习题 343
第 7 章 微分续篇 (隐函数) 345
§82 隐函数 345
§83 反函数 351
§84 映射 354
§85 对解析函数的应用 359
§86 曲线方程 364
§87 曲面方程 369
§88 包络线 373
§89 隐函数的极值 375
习题 379
第 8 章 多变量积分 381
§90 二元以上的定积分 381
§91 面积的定义和体积的定义 382
§92 一般区域上的积分 387
§93 化简成一元积分 391
§94 积分意义的扩展 (广义积分) 398
§95 多变量定积分表示的函数 405
§96 变量变换 408
§97 曲面面积 421
§98 曲线坐标 (体积、曲面积和弧长等的变形) 429
§99 正交坐标 437
§100 面积分 441
§101 向量记号 443
§102 高斯定理 445
§103 斯托克斯定理 453
§104 全微分条件 457
习题 461
第 9 章 勒贝格积分 464
§105 集合运算 464
§106 加法集合类 (σ 系) 468
§107 M 函数 468
§108 集合的测度 473
§109 积分 475
§110 积分的性质 479
§111 可加集合函数 488
§112 *连续性和奇异性 492
§113 欧式空间和区间的体积 495
§114 勒贝格测度 497
§115 零集合 503
§116 开集合和闭集合 505
§117 博雷尔集合 509
§118 积分表示的集合测度 510
§119 累次积分 516
§120 与黎曼积分的比较 517
§121 斯蒂尔切斯积分 519
§122 微分定义 521
§123 Vitali 覆盖定理 523
§124 可加集合函数的微分 526
§125 不定积分的微分 530
§126 有界变差和*连续的点函数 532
附录 I 无理数论 535
§1 有理数分割 535
§2 实数的大小 536
§3 实数的连续性 537
§4 加法 538
§5 *值 540
§6 极限 540
§7 乘法 542
§8 幂和幂根 543
§9 实数集合的一个性质 544
§10 复数 545
附录 II 若干特殊曲线 547
补遗 关于处处不可微的连续函数 551
