| 折纸 折纸的可爱与魅力在于熟练者可以用一张普通的方纸折出不平常的、时髦的形状.翅膀会动的鸟、优美的蝴蝶、凶恶的魔鬼、娇嫩的花朵以及有弹性的卷曲.一系列精确的形状都可以被灵巧的双手折出来. 最近几十年，折纸艺术的范围已经从折鸟、鱼或其他动物的模型扩展到包括各种几何图像和模式. 从平易近人的简单折纸转变成壮观而细致的艺术品.折纸模式的转变和材料改变交合在一起，它们可以变为抽象的编织或奇异的晶体.折纸中的几何，没有可惊奇之处，一些数学家把它称为古怪的艺术拼凑.《爱丽丝仙境梦游记》的作者，英国数学家查尔斯·道奇森(Charles L. Dodgson，1832—1898)，笔名路易斯斯·卡罗尔（lewis Carrol）是热心的折纸者.1887年1月26日的一篇日记中记载着他如何折一只纸船，船的两头有坐位，船的中间有一个装鱼的篮子.在几年后的一篇日记中，又记载了他如何教孩子折纸手枪，这种纸手枪在空中一抽，会发出“啪”的一响.关于几种纸帽的折叠的方法收集在卡罗尔编的《镜子》（Through the Looking Glass）的科幻作品中. 建筑师、作家和折纸艺术家彼得·恩格尔"(Peter Engel)曾经指出“对于数学家来说,折纸的美丽只因它是简单的几何.每一张原始的纸潜在地是某种几何模式，是这张纸可能折成的对称形的角和比组成的模式.” 美国麻省北安度佛的美立马克学院的数学家托马斯·胡尔（Thomas C. Hull）小时候八岁开始就会折纸.在罗得岛大学读书时发现了折纸的兴趣与数学职业结合起来的道路.现在他是折纸艺术与数学相结合会社的成员.这是一个目前小型的.但正在壮大的会社. 折纸涉及两种类型的折法：山和谷.折痕是在折纸过程中因折叠而留下的痕迹.探究数学与折纸艺术的关系的途径之一，不是去研究折纸最终的成品，而是去研究在完成折纸成品过程中留下的折痕.把折纸模型转化成平面折痕是一个好的出发点.虽然这样的模型仅仅是三维图形的展开而没有真的折起来.但是它是折成后展开印在书上的整洁的拼贴图. 在没有折起来的纸上的折痕显示出惊人的对称性和有趣的几何性质.胡尔说：“这种模式真是非常出色.它启发我们去理解折痕模式与所折成的折纸作品间的关系.它们是怎样从一个形式变成另一个形式.” 从数学上看，折痕都是直线，它把正方形分成若干组多角形.可以用某种简单的定理来表达直线、多角形以及直线在正方形内交点之间的关系.例如日本折纸专家前河内(Jun Maekawa)证明了环绕一个单个顶点谷的折痕数目减去山的折痕数目必为2或-2.环绕任意顶点的折痕数目必定是偶数. 这样的定理提供了组成折纸作品的折痕的内在规律.初学折纸的实践者，更系统的学习方法是用尝试或凭直觉去决定哪些折痕是需要的，哪些折痕是不需要的. 胡尔看到许多棘手的折纸问题都可以获得巧妙的解答——例如运用手指的技巧或舌头的帮助.他常常自问是什么样的规则导致这样的灵感喷涌.胡尔坚持认为“依靠对规则的理解.你能折出更好的样子来.” …… | 
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